Cho một hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn (P;PC) bị cắt bởi hai mặt phẳng song song với đáy, thiết diện lần lượt là hình tròn (M;MA), (N;NB), AM = 3cm, BN = xcm, CP = 9cm (xem hình vẽ). Biết hình giới hạn bởi hình nón, đường tròn (M;MA) và đường tròn (N;NB) có thể tích bằng hình giới hạn bởi hình nón, đường tròn (P;PC) và đường tròn (N;NB). Khi đó x bằng
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = e x , y = 0, x = -2, x= 2. Đường thẳng x = k − 2 < k < 2 chia (H) thành hai phần S 1 , S 2 như hình vẽ dưới. Cho S 1 và S 2 quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V 1 và V 2 . Xác định k để V 1 = V 2 .
A. k = 1 2 ln e 4 − e − 4 2
B. k = 1 2 ln e 2 + e − 2 2
C. k = 1 2 ln e 4 + e − 4 2
D. k = ln e 4 + e − 4 2
Tính thể tích vật thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
a) Đáp số: 1/3.
Hướng dẫn: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại x ∈ [0;1] là hình vuông cạnh bằng x, S(x) = x 2 .
Vậy
b) Đáp số: 16/3.
Hướng dẫn: (H.83) Thiết diện tại x ∈ [-1;1] là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y)
với 
Khi đó, 
Diện tích thiết diện là: S(x) = 4(1 − x 2 ).
Vậy
Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi 1 4 cung tròn có bán kính R = 2, đường cong y = 4 − x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
A. V = 77 π 6 .
B. V = 8 π 3 .
C. V = 40 π 3 .
D. V = 66 π 7 .
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi 1 4 cung tròn có bán kính R=2, đường cong y = 4 − x và trục hoành ( miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.
A. V = 77 π 6
B. V = 8 π 3
C. V = 40 π 3
D. V = 66 π 7
Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA’=8 và độ dài trục nhỏ là BB’=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’
A. V = 36 π
B. V = 12 π
C. V = 16 π
D. V = 64 π 3 .
Trong mặt phẳng (P), cho elip (E) có độ dài trục lớn AA'=8 và độ dài trục nhỏ là BB'=6. Đường tròn tâm O đường kính BB’ như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elip và đường tròn đó (phần hình phẳng tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục AA’
A. V = 36 π
B. V = 12 π
C. V = 16 π
D. V = 64 π 3 .
Đáp án B
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay elip có trục lớn A A ' = 8 , trục nhỏ B B ' = 6 khi quay quanh trục AA’ là V E = 4 3 π . A A ' 2 . B B ' 2 2 = 4 3 π .4.3 2 = 48 π (đvtt).
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn O ; B B ' 2 quanh trục AA’ cũng chính là thể tích khối cầu tâm O, bán kính R = 3 . Thể tích đó là
V O ; 3 = 4 3 π R 3 = 4 3 π .3 3 = 36 π (đvtt).
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V = V E − V O ; 3 = 48 π − 36 π = 12 π (đvtt)
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3 x 2 và nửa đường tròn có phương trình y = 4 - x 2 với - 2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A. 2 π + 5 3 3
B. 4 π + 5 3 3
C. 4 π + 3 3
D. 2 π + 3 3
Chọn D.
Hoành độ giao điểm của (P) và ( C) là nghiệm của 3 x 2 = 4 - x 2 <=> x = 1 hoặc x = -1
Khi đó, diện tích cần tính là H = 2x ( ∫ 0 1 4 - x 2 d x - ∫ 0 1 3 x 2 d x ) = 2 π + 3 3
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3 x 2 và nửa đường tròn có phương trình y = 4 - x 2 với - 2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A. 2 π + 5 3 3
B. 4 π + 5 3 3
C. 4 π + 3 3
D. 2 π + 3 3
